Fraktale, Gebilde der Selbstähnlichkeit. Eine unendliche Zahl an wieder erkennbaren Farben und Formen. Wer sich auf die Suche begibt wird finden. Wirklich? Und was? Wird er sich verlieren in der unendlichen Dimension der Formeln? Wer hat es nicht schon erlebt, immer tiefer zu zoomen, sehen, was dahinter ist? Was sind Farben und Formen? Sind sie sichtbar gewordene Gefühle? Ja, alle Maler wissen, dass sie mit ihren Bildern etwas bewegen, die Gefühle des Betrachters kitzeln können. Nur gibt es einen Unterschied, der Maler malt sein Bild, um etwas zu schaffen, um seine Kreativität zu befriedigen, um seine Gedanken, Träume, Fantasien sichtbar zu machen. Was ist mit den Fraktal-Künstlern? Ein schönes, farbliches und interessantes Fraktal zu finden ist genau so schwierig wie ein Bild zu komponieren. Nur das Motiv, sich auf die Suche nach einem Fraktal zu begeben ist ein anderes, als ein Gemälde anzufangen. Sind Fraktal-Künstler Jäger? Immer auf der Jagt nach dem nächsten Gebilde? Oder vielmehr Sammler? Wer gibt sich denn schon mit einem Fraktal zufrieden, wo doch schon die nächsten darauf warten entdeckt zu werden?
Weshalb sind Fraktale für uns so faszinierend?
Chaos… nichts bleibt… alles verändert sich… Bewegung… wohin? Die Menschen halten fest an dem, was sie kennen, was sie gewohnt sind. Sie wollen wissen, wissen, was geschehen wird, was sie jetzt, gleich, in Zukunft tun werden. Chaos macht Angst. Wen überrascht es also, dass viele Menschen viel Energie und Zeit brauchen, um jegliches Chaos zu vermeiden. Dazu zählt die Suche nach Sicherheit und Ordnung, nach einem geregelten, überschaubaren System. Auch im Chaos herrschen Gesetzte, die Ordnung bringen.
Chaos oder Ordnung?
Was sind denn nun Fraktale? Chaos oder Ordnung? Zurück zum Chaos. Damit war ursprünglich etwas Formloses, eine Materie, die Gestalt annehmen, also einen kreativen Prozess auslösen kann, gemeint. Jede Ordnung kann erst aus der Unordnung hervorgehen, jede Schöpfung braucht das Chaos. Was wir an Wissen dabei vergessen haben? Das jede Form immer wieder zerfallen muss, damit wieder etwas Neues entstehen kann.
Schlaue Köpfe
Es war Christoph Kolumbus, der bewies, dass die Welt nicht flach ist und Albert Einstein, der zeigte, dass Masse und Energie das gleiche sind. Benoit Mandelbrot vom J.Watson Research Center der IBM leistete die grundlegende Arbeit für die Theorie der Fraktale und prägte das Wort „FRAKTAL“.
Die Geschichte der Erforschung der Fraktale umfasst viele Entdeckungen, die die vergessenen Krümel von verschiedenen Disziplinen aufgehoben und ein „Festmahl“ aus chaotischen Strukturen und Theorien bereitet haben.
Viele Wissenschaftler müssen feststellen, dass seltsame Gegenbeispiele, die sie beiseite geschoben haben, die Grundlage für ein ganz neues Forschungsgebiet bilden.
Die Dimensionen von selbstähnlichen Strukturen
Im deutschsprachigen Duden findet man den Eintrag: „Modell zur Beschreibung irregulärer Strukturen“ etc.
Am ehesten trifft zu, „Die Dimensionen von selbstähnlichen Strukturen“. Das heißt: „Ein Ausschnitt der Struktur, gleicht der Gesamtstruktur“. (bestes Beispiel: Schneeflocke und Farnkraut).
Noch besser erkennbar ist diese fraktale Struktur bei einem Gemüse, das wir alle gut kennen, dem Blumenkohl. Nimm einen Blumenkohl und zerkleinere ihn, Du wirst immer kleinere Blumenkohlköpfe finden die alle die Struktur eines großen Kopfes haben, ja sogar unter dem Mikroskop ist die Gesamtheit der Struktur in verblüffender Weise noch erkennbar.
Man spricht von, einer Selbstähnlichkeit, ein kleiner Teil der Menge ist eine Miniatur der großen Menge.
Das Wort Fraktal entstammt der Antike, schon die alten Griechen benutzten den Ausdruck; fract und fractus…
Mandelbrot und Julia
… aber zurück zum Thema. Obwohl das Ausmaß der Möglichkeiten, eine Größe angenommen hat (darauf komme ich später) sollten wir aber bedenken, dass die Parade der unzähligen Fraktalbilder gerade erst mal begonnen hat. Die Mandelbrotsche Menge kann nicht nur selbst als faszinierendes Fraktal betrachtet werden, sondern als ein Katalog abhängiger Fraktalklassen, die Julia-Mengen genannt werden. Jeder Punkt der Mandelbrotschen Menge kann als ein Index betrachtet werden, der auf eine spezielle Julia-Menge verweist. Juliamengen wurden nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia benannt, der sie entdeckt hatte.
… so chaotisch wie es scheint, ist diese Welt wiederum nicht.
Formeln
Es steckt eine mathematische Gesetzmäßigkeit dahinter. Die unschuldig aussehende Formel E=MC² fasst irgendwie die ganze Relativitätstheorie zusammen, nicht so beim Fraktal. Die Formel Zn+1=Z²n+C ist nicht mehr und nicht weniger das, was zu sein scheint. Keine Energie, keine Masse, kein Ding der realen Welt. Dennoch ist es die Formel, die bei Beachtung von ein paar bestimmten Einzelheiten, die die Wiederholungen und Prüfungen bezüglich entfliehender Orbits betreffen, die wunderschöne Mandelbrotsche Menge errechnet. Wie kann eine so wunderbare und komplizierte Form von solch einer absurd einfachen Formel Zn+1=Z²n+C herrühren?
Nun, darüber sollten wir uns nicht den Kopf zerbrechen, sondern weiterhin diese wunderschönen Gebilde staunend betrachten. Jedes Bild in sich, übt auf den Betrachter eine gewisse Faszination aus. Packen wir an, es gibt viel zu entdecken! Die Welt der Fraktale ist groß, ich erwähnte es bereits am Anfang, ja sie ist riesengroß!!
Mathematik
Es gibt Programme die bis zu zehn aufeinderfolgende Vergrößerungen eines Fraktals zulassen, wodurch das Bild jeweils um das Fünfundzwanzigfache vergrößert wird. Die Begrenzung auf zehn Vergrößerungen ist nicht mathematisch, sondern in der Darstellung der Zahlen im Computer begründet.
In der größtmöglichen Vergrößerung füllt ein kleiner Fleck der komplexen Ebene, der ca. 0,000000000001(1,0*10-hoch 12) Einheiten breit ist, den Bildschirm.
Legt man die Breite der Mandelbrotschen Menge von 4,0 und die Breite des physischen Bildschirmes von ca. 30,5 cm zugrunde, kannst Du berechnen, wie groß die vollständige Mandelbrotschen Menge in der gesamten Ausdehnung sein wird.
Riesige Welten
Schätzen wir mal wie groß die Mandelbrotsche Menge in ihrer Gesamtheit sein könnte?
So groß wie ein Fußballfeld? Vielleicht zwei drei Kilometer?
Drei Kilometer ist eine sehr mutige Annahme, wäre die Mandelbrotsche Menge tatsächlich drei Kilometer lang, gäbe es fünfundzwanzig Millionen verschiedene 30,5cm breite Flecken auf einer Fläche von vier Quadratkilometer, und wir würden sehr lange brauchen, um alle diese Flecken zu zeichnen.
Drei Kilometer sind aber falsch. Eine Mandelbrotsche Menge bläht sich bei der extremsten Vergrößerung, die man auf einen Bildschirm sehen kannst, auf eine Breite von „Zwei Billionen Kilometer“ auf. Das ist die Entfernung von der Sonne zur Erde, fast die Entfernung bis zum Jupiter.
Alles ist Fraktal
Eine astronomische Größe. Kaum zu glauben was diese unscheinbare Formel Zn+1=Z²n+C alles kann, und sie funktioniert sogar. Sie ist zu einer festen Größe geworden, genau wie die Einsteinsche Formel. Nur in ihrer Gesamtheit gesehen ist sie irregulär. Aber in unserer realen Welt hat sie Bestand, sehen wir uns doch mal um, alles ist fraktal. Der Blumenkohl; das Farnkraut; einfach jede Pflanze egal wie groß; das Muster auf Steinen; das Gebirge (seht doch mal eine Luftaufnahme an); die Fingerabdrücke und das Muster auf der Haut; die Spuren im Sand, die das Meer hinterlässt…
Reise durch Raum und Zeit
Auf der Reise durch das Universum der Fraktale, und Alles was damit in Zusammenhang steht, wünsche ich viel Glück!
Und nun begeben wir uns in den Orbit und suchen die Mandelbrot + Julia-Mengen.
Ein Apfelmännchen wird uns auf der Reise, durch Raum und Zeit begleiten.
Ein Essay von Marion Terasa